Fibonacci Squares
Die Kollektion Fibonacci Squares zeigt Anordnungen von Fibonacci Quadraten, deren Seitenlängen Fibonacci Zahlen sind.
Fibonacci Quadrate haben die faszinierende Eigenschaft, dass sie aus den beiden nächstkleineren Fibonacci Quadraten und aus zwei Fibonacci Rechtecken zusammengesetzt werden können. (Die Seitenlängen eines Fibonacci Rechtecks sind zwei aufeinanderfolgende Fibonacci Zahlen.) Die kleineren Fibonacci Quadrate werden dazu an diametral gegenüberliegenden Ecken des grossen Quadrats angebracht und berühren sich an der Diagonalen.
Je grösser die Fibonacci Zahlen sind, umso mehr ist das Verhältnis der Seitenlängen eines Fibonacci Rechtecks dasjenige eines goldenen Rechtecks.
Beispiel: ein Quadrat der Seitenlänge 89cm kann aus den beiden Quadraten mit Seitenlänge 55cm und 34cm, und zwei Rechtecken mit der Seitenlänge 34x55cm gebildet werden. Das Verhältnis 55/34 ≈ 1.6176 ist nahe am goldenen Schnitt, dessen erste vier Dezimalstellen 1.6180… sind.
Stairway to Heaven
Stairway to Heaven benützt die obige Eigenschaft der Fibonacci Quadrate gleich mehrfach. Das Bild hat ein quadratisches Format, das gleichzeitig auch das grösste Quadrat repräsentiert. Dieses wird zunächst in seine Bausteine aufgeteilt, woraus sich die zwei kleineren Quadrate ergeben. Das Kleinere der beiden (oben rechts) bleibt so bestehen, und das Grössere (unten links) wird wiederum in seine Bausteine aufgeteilt. Diese beiden Schritte werden rekursiv weiter ausgeführt, bis als letztes ganz links unten ein 2×2 Quadrat in zwei 1×1 Quadrate und zwei (quadratische) 1×1 Rechtecke aufgeteilt wird.
Die Farbe des Bildes wird einzig durch die Farben der Rechtecke und das gelbe 1×1 Abschlussquadrat bestimmt. Die roten und blauen Farbverläufe der Rechtecke mischen sich in in den Quadraten und ergeben deren Farbe.
Anordnung
Die sich durch die Konstruktion ergebende Anordnung bringt mehrere faszinierende Effekte hervor.
Einerseits bilden die Fibonacci Quadrate eine Treppe, die über das Bild hinaus, exponentiell wachsend in den Himmel, resp. ins Unendliche verläuft (daher der Name). Anderseits zeigen die Rechtecke mit den Quadraten ein Fischgratmuster, welches ebenfalls exponentiell wächst.
Zudem zeigen sich auch in der Diagonale Fibonacci Effekte: in jedem Quadrat befindet sich im Zentrum ein kleines Quadrat, welches rechts oben und links unten von zwei gleich grossen Quadraten in die Zange genommen wird. Das untere der Beiden ist weiter aufgeteilt in noch kleinere Teile. Hier erkennt man auch die Summenregel der Fibonacci Zahlen: die Diagonale des kleinen Quadrats in der Mitte verlängert um die Diagonale des nächstgrösseren Zangenquadrats links unten ergeben die Diagonale des übernächst-grösseren Quadrats, und dieses wiederum verlängert um die Diagonale Zangenquadrats rechts oben ergibt schliesslich die Diagonale des Bildes.
Außerdem veranschaulicht die Aneinanderreihung der Quadrate in der Diagonale die bekannte Eigenschaft der Fibonacci Zahlen, dass die Summe der n ersten Fibonacci-Zahlen gleich der (n+2)-ten Fibonacci-Zahl minus 1 ist: die Summe der Diagonalen aller roten Quadrate ist gleich der Diagonalen des Bildes minus der Diagonalen des kleinen gelben Quadrats.
Ähnliche Effekte erscheinen beim Fibonacci Hexagon Bild Between the Devil and the Deep Blue Sea.